張海澎
我在大學所教的課程中，有一門是邏輯學。邏輯是一切科學的基礎：無論是自然科學還是人文科學，從數學、物理學、電腦科學到哲學、政治學、經濟學等，都離不開邏輯。邏輯是人類理性思考的基石。
在我班上，有不少來自理學院和工程學院的學生，有數學系的、物理系的、電腦系的、電子工程系的，等等。這些學生的數學水平極高，但許多人其實並不真正了解某些數學方法背後的邏輯原理。他們可能會很熟練地運用一些數學技巧去證明一些數學定理，但這些證明方法背後的邏輯根據是什麼，往往不甚了了。有鑑於此，從數年前開始，我會在課堂上預留一些時間，在教完某些邏輯知識後，就順便講述如何將剛學到的邏輯原理運用在數學證明上，或告訴學生某些數學證明背後所依據的就是這些邏輯原理。冀能加深學生對一些數學方法的理解。
例如，在數學上有一種證明的方法是這樣：要證明「或者P，或者Q」這種形式的定理，可先假設P是假的，然後推出Q，也就證明了「或者P，或者Q」。例如以下這個數論的定理：
任何一個整數n，或者n2能被4整除，或者n2-1能被4整除。
要證明這個定理，可先假設n2不能被4整除，然後推出n2-1能被4整除，也就證明了上述定理。為什麼能這樣證明呢？因為在邏輯上，「或者P，或者Q」等值於「如果非P，則Q」。因此，我們可以先假定P是假的，然後推出Q。這就等於證明了「如果非P，則Q」，也即證明了「或者P，或者Q」。
又如，邏輯學上有一個原理叫「全稱概括」，即從一個論域中任意一個對象x具有性質P，可推出這個論域裏的所有對象都有性質P。這裏的關鍵是：這個對象x必須是任意的，不能具備任何特殊的性質；或者即便具備某些特殊的性質，這個性質也不能作為已知條件運用在證明中。只有這樣，這個對象才具有一般性。這個原理在數學證明中具有廣泛的運用。
例如，要證明一個三角形的內角和是一百八十度，先在紙上畫一個任意的三角形，然後證明這個三角形的內角和是一百八十度，也就證明了所有三角形的內角和都是一百八十度。但所畫的三角形必須是任意的，不具備任何特殊的性質，既不是直角三角形，也不是等腰三角形。當然，一旦你在紙上畫一個三角形，它就是一個特殊的三角形，有特定的邊長、內角等。但這些性質都不重要，我們也不必知道這些特殊的性質，因為在證明中不會用到它們。因此，畫在紙上的這個三角形，除了具備一般三角形所具有的性質外，可以說不具備任何其他特殊的性質。因此，它可以作為任意三角形的代表。
在各種數學證明的方法中，強數學歸納法所依據的邏輯原理比較不容易掌握。許多學數學的人，包括筆者認識的一些數學系教授，都沒能搞清楚。
數學歸納法有兩種，一種是一般數學歸納法，一種是強數學歸納法。要證明所有自然數都具有性質P，運用一般數學歸納法需兩個步驟：(1) 基本步驟，先證明「自然數0具有性質P」（或從1開始，視題目而定）；(2)歸納步驟，再證明「如果任一自然數n具有性質P，則n+1也具有性質P。」但運用強數學歸納法只需一個步驟，只要證明「如果所有小於n的自然數都有性質P，則n也有性質P」即可。例如，要證明以下這個定理：
任何大於1的整數都或者是質數或者是質數的積。
運用強數學歸納法，先假設「所有大於1小於n的整數都或者是質數或者是質數的積」，然後推出「n也或者是質數或者是質數的積」。
許多人對強數學歸納法感到疑惑：它只是證明了
(A)如果所有小於n的自然數都有性質P，則n也有性質P。
但並沒有證明
(B)所有小於n的自然數都有性質P。
如何能因此證明了「所有自然數都具有性質P」？雖然強數學歸納法沒有證明基本步驟，但基本步驟已經包含在其整個的證明中。讓我們將0代入上式(A)中的n，得出：
(C)如果所有小於0的自然數都有性質P，則0也有性質P。
由於沒有小於0的自然數，上述條件句的前件就是真的，即「所有小於0的自然數都有性質P」是真的。又由於(C)是真的，我們就可以推出其後件也是真的，即「0也有性質P」也是真的。
許多人不明白的是，為什麼「所有小於0的自然數都有性質P」會是真的？用邏輯語言表達，這句話的意思就是：
(D)任何自然數n，如果它小於0，則它具有性質P。
(D)本身又是一個條件句。由於沒有任何自然數小於0，這個條件句的前件就是假的，因此整個條件句就是真的。這裏涉及到邏輯學上的「實質蘊涵」這個概念。在經典邏輯中，條件句「如果P，則Q」被解釋作實質蘊涵。在這種解釋下，如果其前件P是假的，則整個條件句就是真的。
許多學數學的人不理解強數學歸納法的邏輯原理，就是因為沒能掌握「實質蘊涵」這個概念。對非邏輯學專業的人來說，這個概念不容易掌握。我教邏輯學，當然會詳細、深入地解釋這個概念。然後在此基礎上，講述強數學歸納法及其所依據的邏輯原理，學生就容易掌握。
在邏輯課上講授各種數學方法所依據的邏輯原理，這部分內容是筆者自行設計的，教學大綱並沒有要求教這些，邏輯教科書上也沒有這方面的內容。但實踐證明它很受學生歡迎，尤其是數學系和電腦系的學生，因為這加深了他們對數學證明的理解。至於讀文科的學生，由於我盡量講得淺白，即使他們不完全懂，也會有所得益。況且，這部分的內容只佔很小的一部分課時，考試也不會考這些，不會對他們構成壓力。
經驗告訴我們，教學時將基本原理講解透澈，不但能幫助學生真正掌握一門知識，也能提高他們對有關知識的興趣。
（本文圖片為資料圖片）
張海澎簡介：香港中文大學哲學系文學士及哲學碩士，香港大學哲學博士，目前在香港中文大學任兼職講師，教授邏輯學、思考方法等。
